1.5 Berechnung radiometrischer Größen (Beispiele)
Beispiel 1: Isotrope Punktlichtquelle
Eine kleine Lichtquelle strahlt Licht gleichmäßig in alle Richtungen aus (sphärische Symmetrie). Ihr Strahlungsfluss entspricht Φe,Quelle = 10 W.
In Anbetracht der Charakteristiken der Lichtquelle in einer Entfernung r, die größer als die geometrische Dimension der Lichtquelle selbst ist, kann die eigentliche Größe der Quelle außer Acht gelassen werden und es wird angenommen, dass das Licht von einem Punkt aus emittiert wird. Als Faustregel gilt, dass diese Annäherung dann gerechtfertigt ist, wenn die Entfernung r mindestens 10 Mal größer ist als die Dimensionen der Lichtquelle.
a) Da die Lichtquelle Licht auf symmetrische Weise in alle Richtungen ausstrahlt, ist ihre Strahlstärke für alle Richtungen gleich und bemisst sich durch
Ie = Φe,Quelle = 10 W = 0.796 W / sr 4π sr 4π sr
b) Ein infinitesimales Oberflächenelement dA in einer Entfernung r, das senkrecht zum Strahl liegt, hat den Raumwinkel
dΩ = dA r²
und somit kann der infinitesimale Strahlungsfluss dΦe,auftr, der auf dA auftrifft, mittels folgender Gleichung berechnet werden:
dΦe,imp = I dΩ = Φe,Quelle × dA = Φe,Quelle × dA 4π sr r2 4π r 2
Die Bestrahlungsstärke in einer Entfernung r beträgt somit
Ee = Φe,Quelle 4π r²
Zu diesem Ergebnis gelangt man ebenfalls durch folgende Aussage:
In einer Entfernung r durchdringt der gesamt emittierte Strahlungsfluss Φe,Quelle die Oberfläche einer Sphäre mit dem Radius r, was durch 4r²π ausgedrückt wird. Da die Lichtquelle auf symmetrische Weise in alle Richtungen Licht ausstrahlt, weist die Bestrahlungsstärke an jedem Punkt dieser Sphäre den gleichen Wert auf.
Somit wird die Bestrahlungsstärke E einer Oberfläche in einer bestimmten Entfernung r und senkrecht ausgerichtet zum Strahl durch folgende Definition festgelegt:
Somit gelangt man zum gleichen Ergebnis wie oben dargestellt.
| Ee = | Strahlungsfluss, der auf eine Fläche oder einen Bereich dieser Fläche auftrifft | = | Φe,Quelle |
| 4π r² |
Anmerkung: Die Verhältnismäßigkeit von E zu r² wird im Allgemeinen mit dem „Abstandsgesetz” ausgedrückt. Jedoch gilt es nur für Entfernungen, die weitaus größer sind als die geometrischen Dimensionen der Lichtquelle, was wiederum die Annahme einer Punktquelle zulässt. Besitzt eine Lichtquelle z. B. umfangreiche geometrische Dimensionen, kann diese durch eine „virtuelle” Punktquelle ersetzt werden, wobei das Abstandsgesetz in einer Entfernung r von einer virtuellen Punktquelle aus immer noch anwendbar ist (siehe Beispiel 2). Ist es jedoch nicht möglich, die Lichtquelle mit einer Punktquelle gleichzusetzen und jeder Punkt der Quelle strahlt Licht in mehr als eine Richtung aus, kann das Abstandsgesetz nicht mehr angewandt werden. Leuchtstoffröhren sind in diesem Fall ein gutes Beispiel.
Beispiel 2: Spot-Strahler
In einer handelsüblichen Taschenlampe reflektiert ein Hohlspiegel Licht von einer kleinen Glühlampe (Strahlungsfluss Φ = 200 mW) in einen divergenten Lichtkegel (siehe Abb. 1). Dabei wird davon ausgegangen, dass der Spiegel ohne Verluste reflektiert und gleichmäßig die Strahlung über den Lichtkegel hinweg verteilt.
Eine Taschenlampe strahlt Licht nicht symmetrisch in alle Richtungen aus – folglich kann die Gleichung aus Beispiel 1 nicht angewandt werden.
a) In einer Entfernung von 25 cm von der vorderen Einfassung der Taschenlampe, trifft der gesamte Strahlungsfluss von 200 mW (= 0,2 W) auf einen Kreis mit einem Radius von 0,05 m. Unter der Annahme, dass die Bestrahlungsstärke über den Kreis verteilt konstant bleibt und man die nicht vollständig Ebene und somit nicht komplett senkrecht zum Strahl ausgerichtete Oberfläche außer Acht lässt, wird die Bestrahlungsstärke in einer Entfernung von 25 cm von der vorderen Einfassung der Taschenlampe berechnet:
E = Strahlungsfluss, der auf eine Fläche oder einen Bereich dieser Fläche auftrifft = 0.2 W / m²
0.052 π E ≈ 25 W / m²
Abb. 1: Berechnung der Bestrahlungsstärke verursacht durch eine Taschenlampe
Quelle (Stand 2002) : in Anlehnung an http://omlc.ogi.edu/classroom/ece532/class1/intensity_flashlight.html
b) Zur Bestimmung der Strahlstärke der Taschenlampe muss der Raumwinkel ermittelt werden, der wiederum durch den Kegel bestimmt wird. Gemäß der Definition des Raumwinkels und in Annäherung an die Fläche der sphärischen Kalotte, wobei eine Kreisfläche von 5 cm (= 0,05 m) Radius genutzt wird, erhält man
Ω = AKreis r²
Aus Abb. 1 resultiert
wobei r die Entfernung des Kreises vom Scheitelpunkt des Kegels beschreibt.
r = x + 0.25 m
und
x = 0.03 x + 0.25 0.10
was wiederum ergibt
x = 0,107 m
und
r = 0,357 m
Der Kegel definiert somit einen Raumwinkel durch
Ω = Acircle = 0.05² π = 0.0616 sr r² 0.3572
und die Strahlstärke der Taschenlampe geht aus
I = Φ = 0.2 W = 3.25 W / sr Ω 0.616 sr
hervor.
Anmerkung: Da eine virtuelle Punktquelle am Scheitelpunkt des Kegels die gleiche räumliche Strahlenverteilung hervorruft wie die Glühlampe zusammen mit dem Hohlspiegel in der Taschenlampe, kann das „Abstandsgesetz” für dieses Szenario angewandt werden. Allerdings muss die Entfernung r, auf die die Definition Bezug nimmt, von der Position der virtuellen Punktquelle aus berechnet werden.
Beispiel 3: Die Lambertsche Oberfläche
Gemäß Definition emittiert oder reflektiert die Lambertsche Oberfläche Strahlung mit einer konstanten Strahldichte (Le) in alle Richtungen einer Hemisphäre (s. Abb. 2). Gleichung 2 zeigt, dass die Richtungsverteilung der Strahlstärke durch
Ie(ϑ) = Ie,0 × cos(ϑ)
mit
Ie,0 = ∫ Le cos(0) dA = ∫ Le dA Emittierende Oberfläche Emittierende Oberfläche
ausgedrückt wird, wobei Ie,0 die Strahlstärke bezeichnet, die in die Richtung emittiert wird, die senkrecht zur Oberfläche liegt. Ie(ϑ) bezeichnet die Strahlstärke, die in die Richtung emittiert wird, die den Winkel ϑ mit der Normalen der Oberfläche mit einbezieht. Bei der Berechnung der Ausstrahlung der Oberfläche Me aus Gleichung 4, unter Verwendung der Gleichung dΩ = sin(ϑ) dϑ dφ, erhält man
Me = ∫ L e cos(ϑ) dΩ = Le 2π ∫ π/2 ∫ cos(ϑ) sin(ϑ) dϑ dφ = Le × π 2πsr 0 0
Die jeweiligen Gleichungen für photometrische Größen (siehe Grundlegende photometrische Größen), die eine Lambertsche Oberfläche auszeichnen, werden durch das Ersetzen von Index „e” mit Index „v” abgeleitet.
Abb. 2: Konstante räumliche Strahlungsverteilung Le, nach idealer diffuser Reflexion an einer Lambertschen Oberfläche
Im Bereich der Lichtmessung werden Lambertsche Oberflächen häufig für gut definierte und perfekt verteilte Streuung eingesetzt, die gänzlich von der Richtung der einfallenden Strahlen ist. Die Strahlungsdichte, die in eine bestimmte Richtung von einer bestimmten Oberflächenposition aus reflektiert wird, ist somit proportional zum gesamten Strahlungsfluss, der auf eine reflektierende Oberfläche auftrifft. Dies ermöglicht die Umsetzung von Detektor-Geometrien für Strahlungsfluss, Ausstrahlung und Bestrahlungsstärke (oder Lichtfluss, Lichtausstrahlung und Beleuchtungsstärke). Diese müssen durch die Integration über alle Richtungen eines Raumwinkels hinweg von 4π oder 2π bestimmt werden. Die Lambertsche Reflexion spielt besonders bei der Beschichtung von Ulbrichtkugeln eine Rolle. Sie kommen häufig bei der Eingangs- oder Ausgangsoptik für Detektoren bezüglich Strahlungsdichte oder Leuchtdichtestandards zum Einsatz.